約数の個数が奇数個の整数はなぜ平方数？ [算数研究室【小学生向け】]
約数の個数が奇数個ある整数で，５番目に大きい数は何でしょうか？
突然このような問題を出されてすぐに分かる方はよほどの算数マニアです（笑）
ではその算数マニアがなぜすぐに答えが分かるかというと，次の性質を知っているからなんですね。
約数の個数が奇数個ある整数は，平方数である。
平方数というのは，自然数の２乗，つまり
１×１＝１
２×２＝４
３×３＝９
のように，同じ数を２個かけ合わせた整数のことです。
なので，この問題の答えは，
５番目に大きな平方数５×５＝２５だと，すぐに分かるわけです。
ではなぜ，約数の個数が奇数個のものは平方数なのか。
高校数学の組み合わせの知識と素因数分解を使えば説明ができなくもないですが，もっと直観的に理解することができます。
〇直観的に理解できる説明
普通，約数を探すときには，かけてその数になるペアで探します。
例えば１２の約数でしたら，
１と１２，２と６，３と４
のようにですね。
このように全てペアで約数が見つかるような整数は，自然と約数の個数が２の倍数個できますから，約数の個数は偶数できるわけです。
では，約数が奇数個の場合というのは，ペアがいない約数を持つ場合です。
例えば，１６の約数をペアにして考えてみると，
１と１６，２と８，４と４
となりますが，４は自分自身がペアということになりますから，４はペアがいない約数ということになります。
Ｎ＝ｍ×ｍと表せるような平方数の場合，ｍがペアのいない約数（自分自身がペア）ということになり，約数の個数は，（偶数＋１）の奇数個できるということになります。
＊YouTubeチャンネル＊
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突然このような問題を出されてすぐに分かる方はよほどの算数マニアです（笑）
ではその算数マニアがなぜすぐに答えが分かるかというと，次の性質を知っているからなんですね。
約数の個数が奇数個ある整数は，平方数である。
平方数というのは，自然数の２乗，つまり
１×１＝１
２×２＝４
３×３＝９
のように，同じ数を２個かけ合わせた整数のことです。
なので，この問題の答えは，
５番目に大きな平方数５×５＝２５だと，すぐに分かるわけです。
ではなぜ，約数の個数が奇数個のものは平方数なのか。
高校数学の組み合わせの知識と素因数分解を使えば説明ができなくもないですが，もっと直観的に理解することができます。
〇直観的に理解できる説明
普通，約数を探すときには，かけてその数になるペアで探します。
例えば１２の約数でしたら，
１と１２，２と６，３と４
のようにですね。
このように全てペアで約数が見つかるような整数は，自然と約数の個数が２の倍数個できますから，約数の個数は偶数できるわけです。
では，約数が奇数個の場合というのは，ペアがいない約数を持つ場合です。
例えば，１６の約数をペアにして考えてみると，
１と１６，２と８，４と４
となりますが，４は自分自身がペアということになりますから，４はペアがいない約数ということになります。
Ｎ＝ｍ×ｍと表せるような平方数の場合，ｍがペアのいない約数（自分自身がペア）ということになり，約数の個数は，（偶数＋１）の奇数個できるということになります。
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はじめまして。
中学生の娘の小テストで類似問題が出たことから、こちらにたどり着きました。とってもわかりやすい解説です。有難うございます！
by しまじろう (2020-08-03 16:42)