なぜ１は素数ではないか？【素因数分解】 [算数研究室【小学生向け】]
１とその数自身以外に約数を持たない整数を素数と言います。
例えば，５は１と５以外では割り切れないので素数ですね。
素数を小さい順に並べると，
２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，・・・
となりますが，通常１は素数とはしません。
１は，１とその数（１自身）以外に約数を持たないのですから，定義に当てはまっていると言えば当てはまっているのです。
では，なぜ１は素数としないのでしょうか？
良くある解釈としては，
「約数が２つある整数が素数であって，１は約数が１つしかないから素数ではない」
というものだ。
もちろん，そう解釈しても間違いではないとは思います。
しかし，１を素数としない本当の理由は他にあります。
本来の素数の意味を考えれみると，１を素数としない理由が見えてきます。
〇素因数分解
素数以外の整数を，いくつかの整数の積に分けてみます。
例えば，
６＝２×３
とできます。１２であれば，
１２＝２×６
となりますが，６はさらに２×３に分けられるので，
１２＝２×６＝２×２×３
と分解できます。
このように，整数を素数の積で表すことを「素因数分解」と言います。
２＝２
３＝３
４＝２×２
５＝５
６＝２×３
７＝７
８＝２×２×２
９＝３×３
１０＝２×５
のように，１以外のすべての整数は素数の積で表現できるのです。
そういう意味で，かけ算の世界では，素数はすべての整数の素（もと）と言えるのです。
素因数分解することで，その整数がどのような整数なのかが見えてきます。
例えば，その整数がどのような数で割り切れるのかが分かるので，その数の約数が分かり，さらに約数の個数も素因数分解を見ると計算で求めることができます。
〇素因数分解の一意性
ある物事がただ１つに決まることを一意的と言います。
かけ算の世界では交換法則があるので，２×３も３×２も等しく，かける順番には意味がありません。なので，a×bもb×aも同じと考え，かける順番を無視すれば素因数分解は一意的に決まることになります。
例えば，
１２＝２×２×３
以外に，１２の素因数分解はないのです。
では仮に１を素数としたらどうなるでしょう？
１２＝１×２×２×３
１２＝１×１×２×２×３
のように，１２の素因数分解が何通りもできてしまうことになります。
このような事が起きないよう，１は素数としないことになっているのです。
また，素数はかけ算の世界では「数の素（もと）」となる数です。
１以外のすべての整数は，素因数分解によって素数の積で表現できるのですが，１は何回かけても変わらないので，他の数を生み出すことはできなません。
そういう意味で，１は数の素とはなれないので，素数の仲間に入れないと考えることもできます。
１はかけ算の世界では，かけてもかけても何も変化を起こさない特殊な数なのですね。
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例えば，５は１と５以外では割り切れないので素数ですね。
素数を小さい順に並べると，
２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，・・・
となりますが，通常１は素数とはしません。
１は，１とその数（１自身）以外に約数を持たないのですから，定義に当てはまっていると言えば当てはまっているのです。
では，なぜ１は素数としないのでしょうか？
良くある解釈としては，
「約数が２つある整数が素数であって，１は約数が１つしかないから素数ではない」
というものだ。
もちろん，そう解釈しても間違いではないとは思います。
しかし，１を素数としない本当の理由は他にあります。
本来の素数の意味を考えれみると，１を素数としない理由が見えてきます。
〇素因数分解
素数以外の整数を，いくつかの整数の積に分けてみます。
例えば，
６＝２×３
とできます。１２であれば，
１２＝２×６
となりますが，６はさらに２×３に分けられるので，
１２＝２×６＝２×２×３
と分解できます。
このように，整数を素数の積で表すことを「素因数分解」と言います。
２＝２
３＝３
４＝２×２
５＝５
６＝２×３
７＝７
８＝２×２×２
９＝３×３
１０＝２×５
のように，１以外のすべての整数は素数の積で表現できるのです。
そういう意味で，かけ算の世界では，素数はすべての整数の素（もと）と言えるのです。
素因数分解することで，その整数がどのような整数なのかが見えてきます。
例えば，その整数がどのような数で割り切れるのかが分かるので，その数の約数が分かり，さらに約数の個数も素因数分解を見ると計算で求めることができます。
〇素因数分解の一意性
ある物事がただ１つに決まることを一意的と言います。
かけ算の世界では交換法則があるので，２×３も３×２も等しく，かける順番には意味がありません。なので，a×bもb×aも同じと考え，かける順番を無視すれば素因数分解は一意的に決まることになります。
例えば，
１２＝２×２×３
以外に，１２の素因数分解はないのです。
では仮に１を素数としたらどうなるでしょう？
１２＝１×２×２×３
１２＝１×１×２×２×３
のように，１２の素因数分解が何通りもできてしまうことになります。
このような事が起きないよう，１は素数としないことになっているのです。
また，素数はかけ算の世界では「数の素（もと）」となる数です。
１以外のすべての整数は，素因数分解によって素数の積で表現できるのですが，１は何回かけても変わらないので，他の数を生み出すことはできなません。
そういう意味で，１は数の素とはなれないので，素数の仲間に入れないと考えることもできます。
１はかけ算の世界では，かけてもかけても何も変化を起こさない特殊な数なのですね。
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大変分かりやすく、理屈から理解できました。
有用な記事をありがとうございました。
Googleの量子コンピューターについて調べているうちに、脱線しながら、なぜかここに来ました（笑）
ちなみに自分、文系の50おやじです。規格外ですみません（爆）
時間のあるときに他の記事も拝見させていただきます。
by お名前（必須） (2019-10-31 17:25)