１～９の整数を，どう足したり引いたりしても答えは必ず奇数【解説編】

先日出した問題ですが，

１～９の整数をどう足したり引いたりしても答えは必ず奇数になる

ということはなぜかという問題でした。

例えば，

１＋４－２＋３＋９－８＋５－６＋７＝１３（奇数）

というように，どのような順番でどのように足したり引いたりしても，答えは必ず奇数になります。

では，以下にその解説を書いていきます。

〇偶数・奇数の個数を使った証明

１～９までの整数は，
偶数：２，４，６，８
奇数：１，３，５，７，９
と，偶数と奇数に分けられます。
つまり，偶数は４個，奇数は５個あります。
偶数±偶数＝偶数
偶数±奇数＝奇数
奇数±奇数＝偶数
という性質から，（必要なら計算の順序を入れ替えることで）４つの偶数から出てくる答えは偶数，５つの奇数から出てくる答えは奇数になることが分かるので，そこから出てきた偶数と奇数を足す，または引くと，
偶数±奇数＝奇数
なので奇数になることが分かります。

ただ，この証明はきちんと書こうと思うと非常に長ったらしくなってしまいますね。
なので上の証明の中でも「分かります」というようにはぐらかした表現を使ってしまいましたが，直感的に理解できれば十分かなと思います。

この考えと比べ，非常にシンプルかつ分かりやすいのが次の証明です。
私の教え子も，このように考えていました。

〇全体の和から考える証明

１～９まですべて足すと
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５（奇数）・・・①
です。ここから，どれかの「＋」を「－」に変えることを考えます。
１～９の中のどれかの整数ｎをひき算にしたとします。するとその答えは，足していた数を引くことにしたのですから，すべて足した場合と比べ，
４５－ｎ×２
のようにｎ２つ分小さくなるはずです。
ｎ×２は２の倍数なので偶数です。
４５（奇数）から偶数を引くと必ず奇数になります。
同様に，①の式の「＋」をいくつ「－」に変えたところで，答えは４５（奇数）から偶数を引いた数になるはずなので，答えは必ず奇数になります。

この証明中の，「４５－ｎ×２」の，ｎ２つ分小さくなることからその答えは奇数になるという考え方は非常に素晴らしい考えだなと思いました。

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