偶数と整数は同じ個数？【数学で最も面白い話】 [数学研究室【一般向け】]
私が数学で最も面白いと感じたことは何かと問われれば，間違いなく
偶数と整数の個数は同じ
ということでした。
普通に考えて，整数の一部が偶数なんですから，整数の方が個数は多いだろうと思いますよね。
ですが，実は整数も偶数も同じ個数あるんです。
私がこのことを学んだのは，大学１年生の時だったと思いますが，このことを知ったとき，数学の本当の面白さというか，奥深さに衝撃を受けたことを覚えています。
今の数学教育で非常に残念なことは，この最も面白い数学の事実を大学生になるまで学ばないということです。
しかも，大学生といっても数学を専攻するような学部でしかこのことは扱わないでしょう。
数学を大学で専攻する方など少ない方でしょうから，日本人の多くは数学における最も興味深い事実を知らずに数学を学ぶことを終えてしまうのです。
（「日本人は」というのは，単に他の国々ではどうか知らないからです。）
〇個数とは？
そもそも個数とは何かというと，小学１年生が初めに数を数えるときには，おはじきなどを指でさしながら，「１，２，３，・・・」と数えていくわけですね。
おはじきなどの物と，「１」「２」「３」という数を１対１に対応させることで数を数えるのです。
例えば，☆の記号が下のように並んでいたとしましょう。
☆☆☆☆☆☆☆☆
これらの星に，１から順番に整数を対応させていきます。
☆☆☆☆☆☆☆☆
１２３４５６７８
すると，すべての☆に整数を対応させることができたので，この☆の個数は８個だということになります。
〇偶数と整数の個数
では，本題に入りますが，有限の区間であれば，もちろん偶数よりも整数の方が多くなります。
例えば，１～１００の中には，整数は１００個あり，偶数は半分の５０個です。
有限とは限りが有るということですが，無限になると話は変わってきます。
正の偶数を小さい方から順に並べていきます。
２，４，６，８，１０，１２，１４，・・・
これらの偶数に，整数を１対１に対応させていくとどうなるでしょうか？
２，４，６，８，１０，１２，１４，・・・
１，２，３，４， ５， ６， ７，・・・
このように，
２に対して１
４に対して２
６に対して３
・・・
と，すべての偶数に対して整数を１対１に対応させることができます。
この１対１対応により，偶数は整数と同じだけ個数があるということになります。
有限であれば偶数の方が整数より少ないのに，無限になると同じ個数ということになってしまうのです。
有限の世界と無限の世界の違いを語る非常に面白い話だと思いませんか？
同じ理由で，無限の世界では，
奇数，偶数に限らず，３の倍数や４の倍数などもすべて整数と同じ個数
ということになります。
より正確には，有限の場合と区別して，無限の時には個数ではなく「濃度」という表現を使います。
偶数全体の濃度は整数全体の濃度と等しいという表現です。
実は無限の世界では，有理数（分数で表現できる数）ですら，整数と同じ濃度であることが証明できます。
〇高校までの数学教育に足りないもの
こういった話は整数論の基礎になりますが，高校の数学ですら一切このことに触れないことは非常に残念だと思います。
受験数学などと言われるように，ただ問題を解くためのテクニックを学び，あたかもパズルを解く感覚で答えを求めることこそが数学だと思ってしまうのも仕方ありません。
「いかにして問題を解くか」といった側面も数学の醍醐味のひとつかもしれませんが，こういった数に関する奥深さを味わうことも，高校までの数学教育では必要なのではないかと思います。
＊YouTubeチャンネル＊
＜関連記事＞
⇒【有理数と整数は同じ個数？【いかに分数を並べるか】】
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偶数と整数の個数は同じ
ということでした。
普通に考えて，整数の一部が偶数なんですから，整数の方が個数は多いだろうと思いますよね。
ですが，実は整数も偶数も同じ個数あるんです。
私がこのことを学んだのは，大学１年生の時だったと思いますが，このことを知ったとき，数学の本当の面白さというか，奥深さに衝撃を受けたことを覚えています。
今の数学教育で非常に残念なことは，この最も面白い数学の事実を大学生になるまで学ばないということです。
しかも，大学生といっても数学を専攻するような学部でしかこのことは扱わないでしょう。
数学を大学で専攻する方など少ない方でしょうから，日本人の多くは数学における最も興味深い事実を知らずに数学を学ぶことを終えてしまうのです。
（「日本人は」というのは，単に他の国々ではどうか知らないからです。）
〇個数とは？
そもそも個数とは何かというと，小学１年生が初めに数を数えるときには，おはじきなどを指でさしながら，「１，２，３，・・・」と数えていくわけですね。
おはじきなどの物と，「１」「２」「３」という数を１対１に対応させることで数を数えるのです。
例えば，☆の記号が下のように並んでいたとしましょう。
☆☆☆☆☆☆☆☆
これらの星に，１から順番に整数を対応させていきます。
☆☆☆☆☆☆☆☆
１２３４５６７８
すると，すべての☆に整数を対応させることができたので，この☆の個数は８個だということになります。
〇偶数と整数の個数
では，本題に入りますが，有限の区間であれば，もちろん偶数よりも整数の方が多くなります。
例えば，１～１００の中には，整数は１００個あり，偶数は半分の５０個です。
有限とは限りが有るということですが，無限になると話は変わってきます。
正の偶数を小さい方から順に並べていきます。
２，４，６，８，１０，１２，１４，・・・
これらの偶数に，整数を１対１に対応させていくとどうなるでしょうか？
２，４，６，８，１０，１２，１４，・・・
１，２，３，４， ５， ６， ７，・・・
このように，
２に対して１
４に対して２
６に対して３
・・・
と，すべての偶数に対して整数を１対１に対応させることができます。
この１対１対応により，偶数は整数と同じだけ個数があるということになります。
有限であれば偶数の方が整数より少ないのに，無限になると同じ個数ということになってしまうのです。
有限の世界と無限の世界の違いを語る非常に面白い話だと思いませんか？
同じ理由で，無限の世界では，
奇数，偶数に限らず，３の倍数や４の倍数などもすべて整数と同じ個数
ということになります。
より正確には，有限の場合と区別して，無限の時には個数ではなく「濃度」という表現を使います。
偶数全体の濃度は整数全体の濃度と等しいという表現です。
実は無限の世界では，有理数（分数で表現できる数）ですら，整数と同じ濃度であることが証明できます。
〇高校までの数学教育に足りないもの
こういった話は整数論の基礎になりますが，高校の数学ですら一切このことに触れないことは非常に残念だと思います。
受験数学などと言われるように，ただ問題を解くためのテクニックを学び，あたかもパズルを解く感覚で答えを求めることこそが数学だと思ってしまうのも仕方ありません。
「いかにして問題を解くか」といった側面も数学の醍醐味のひとつかもしれませんが，こういった数に関する奥深さを味わうことも，高校までの数学教育では必要なのではないかと思います。
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タグ：無限
解説していただいた「整数と偶数の個数の比較（濃度の比較）」については、直ちに理解することができます。しかし、｛1,2,3,4･･･}の内、一つ置きに取り出した集合と偶数の集合も1対1に対応させることが可能ではないかと思われます。こうして考えた場合には、濃度が違っているように思われます。この考え方の不備を指摘する解説に出会えません。このことが、とても気持ち悪く感じます。後者の誤りをご教示頂けすでしょうか。
by Zeo (2020-08-13 05:51)