有理数と整数は同じ個数？【いかにして分数を並べるか】

前回，偶数と整数は同じ個数であることをご紹介させていただきました。
⇒【偶数と整数は同じ個数？】
正確には，整数全体と偶数全体の濃度が等しいということなのですが，実は有理数（分数で表すことのできる数）全体の濃度も，整数全体の濃度と等しくなります。

本質的には同じなので，ここでは整数や有理数はすべて正の数のみに限定して話を進めていきます。

〇整数全体と同じ濃度（個数）とは？

整数と同じ濃度であるというのは，１から順番に整数を対応させることができるということです。
なので，偶数であれば，小さい順に
２，４，６，８，１０，１２，・・・
というように並べることができるので，１から順番に整数を対応させることができ，この対応により整数全体と偶数全体は１対１対に対応させることができたのでした。
つまり，整数と同じ濃度であるということは，このように順番をつけて無限に１列に並べることができるということです。

なので，偶数に限らず，３の倍数や５の倍数なども，順番をつけて無限に１列に並べることができるので，整数と同じ濃度を持っています。

〇分数をいかに並べるか

有理数というのは，分数で表すことのできる数です。

偶数や３の倍数などは，小さい順に並べることで自然に１列に並ばせることができるのですが，有理数の場合はそうはいきません。
なぜなら，有理数を小さい順に並べようとしても，最も小さな有理数というのは存在しないからです。
例えば，1/2（２分の１）よりも1/4の方が小さく，さらに1/4よりも1/8の方が小さくなるように，ある有理数があれば，それを半分の大きさにした数もまた有理数だからです。
いくらでも小さな有理数が作れてしまうのですから，有理数を小さい順に並べること自体不可能なのです。

では，どのように有理数を１列に並べるかというと，次のようにします。

1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 ・・・
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 ・・・
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 ・・・
1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 ・・・
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 ・・・
・・・・・・・・・・・・・・

上から１行目には分母が１の分数を，
上から２行目には分母が２の分数を，
上から３行目には分母が３の分数を，
それぞれ小さい順に並べることができますね。
この並びにより，有理数全体を平面上に並べることができます。

では，この並びに対して，整数を次のように割り当てていきます。

1 2 6 7 　・・・
3 5 8 ・・・
4 9 ・・・
10 ・・・
・・・

つまり，左上の1/1からスタートして，この分数を斜めに数えていくということです。

このように分数に順序をつけることで，１番目から順に分数を余すことなく１列に並べることができるのです。
もちろん，約分することで同じ分数になってしまうこともありますが，約分して同じになる分数が出てくれば，それはとばして並べていくことで，重複なく１列に並べることができます。
この並びにより，整数全体と有理数全体は１対１に対応させることができるので，有理数全体と整数全体は同じ濃度であると言えるのです。

このように有理数全体ですら，余すことなくきれいに１列に整列させることができるのですから，もう何でも整数全体と同じ濃度なのではないかと思ってしまいますが，実はより高い濃度の無限集合があるのです。
その集合こそ，無理数全体の集合なのですが，この話はまた次回以降にしたいと思います。

追記：分数の並びが見づらいと思いましたので，プリントにして少し見やすくしました。



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